Kapelu založili v roce 1975 Brinsley "Dan" Forde (zpěv), Angus "Drummie Zeb" Gaye (bicí/zpěv), Donald "Benjamin" Griffiths (kytara), George "Ras Levi" Oban (baskytara) a Courtney Hemmings (klávesy). Na počátku své kariéry bylo jejich roots reggae silně ovlivněno prvky soulu, dubu, jazzu a funku. A i přesto jsou jejich první alba dodnes velice oblíbená u milovníků roots reggae.
V roce 1976, tedy jen necelý rok od založení kapely podepsali smlouvu s
Island Records a nedlouho poté vydali singl
"Back to Africa", který se stal hitem a na nějakou dobu se usadil do čela hitparád. Od té doby vydali již jedenadvacet alb. Po výše zmíněném singlu následovalo album
"Aswad" (1976) a nedlouho nato další výrazný hit
"Three Babylon". Informace o kapele se donesly i na Jamajku a díky tomu si je v následujícím roce, tedy 1977, vybral
Burning Spear jako backing-band pro svůj Londýnský koncert v
Rainbow Theatre. Odtud také pochází záznam a celé album
"Live" od Burning Speara.
Ačkoliv se do konce osmdesátých let několikrát poměrně výrazně změnilo složení kapely, stali se jednou z nejoblíbenějších reggae kapel. Čím to? Pravděpodobně hlavně proto, že se nevěnovali reggae takovému, jaké ho známe z Jamajky, i kdyby jen co se témat skladeb týká. Sami se věnovali spíše věcem, s nimiž přichází do styku černošská mládež vyrůstající ve Spojeném Království.
V roce 1980 si Forde zahrál ve filmu
Babylon a krom toho se na soundtrack k tomuto filmu dostala do té doby asi nejlepší skladba kapely a sice
"Warrior Charge". Rok nato podepsali Aswad novou smlouvu a začali připravovat album
"New Chapter", které ještě téhož roku vyšlo. Z tohoto alba si nejvíce pozornosti získala skladba
"Love Fire". Album se však nestalo takovým prodejním hitem jak se předpokládalo. Aswad se tedy rozhodli dále se zvukem neexperimentovat a vrátili se k původnímu "stylu".
Nedlouho poté vydali album
"Not Satisfied", avšak také s nepříliš velkým úspěchem. Opět došlo ke změně sestavy a následovalo vydání záznamu
"Live and Direct" v roce 1983. Na úspěch si však museli ještě rok počkat. Roku 1984 vydali Aswad album
"Rebel Souls" a právě na něm byl hit, který znamenal posun kupředu. Byla jím skladba
"Chasing for the Breeze". Jejich takříkajíc koketování s dancehallem na následujícím albu
"To the Top" přineslo taktéž své ovoce a skladby
"Bubblin" a
"Kool Noh" opět nasměrovaly kapelu vzhůru.
Následovalo období, kdy kapela věnovala více času vystupování než samotné tvorbě nových skladeb a v podstatě až v roce 1988 se objevilo album
"Distant Thunder", které se díky titulní skladbě téměř okamžitě dostalo do britské
Top 10 a amerického
Top 50 R&B žebříčku. V tomtéž roce byla vydána ještě alba
"Jah Shaka Meets Aswad in Addis Ababa Studio" a
"Renaissance - 20 Crucial Tracks".
Po výše zmíněných albech přišli Aswad s jednou ze svých nejznámějších skladeb
"Give a Little Love" (1988) jež se dostala do britské
Top 10 a nedlouho po ní s další poměrně úspěšnou skladbou
"On and On", která se dostala ještě do konce roku do
Top 20. V první polovině roku 1989 představili svou verzi skladby
"Best of My Love", původně dalo by se říci country balady od
The Eagles. Dalším, co udělalo na fanoušky dojem bylo vystoupení kapely společně s
Cliffem Richardem a jejich společná skladba
"Share a Dream".
Od tohoto vystoupení pak o sobě kapela několik let nedávala příliš vědět a ani nijak často nekoncertovala. Výrazněji se ozvala v podstatě až v roce 1994, kdy vyšel jejich hit
"Shine" (album
"Rise and Shine"). Výrazněji asi nebude to správné slovo vzhledem k tomu, že skladba se téměř okamžitě dostala do britské
Top 5 a následoval i úspěch v Evropě, Japonsku i Karibiku a k tomu všemu ještě nominace na
Grammy v kategorii
Best Reggae Album.
Tento úspěch znamenal pro kapelu kromě vystoupení v londýnském
Royal Albert Hall a na jamajském
Reggae Sunsplash také možnost koncertovat v západní Africe, Izraeli a nakonec i Japonsku. Možná, že to bylo nenadálým velkým úspěchem a životem ve shonu a na cestách, můžeme se jen domnívat, ale několik let po úspěchu výše zmíněného hitu kapelu údajně ze "spirituálních" důvodů opustil kapelu
Brinsley Forde (nyní na sólové dráze, za zmínku stojí hlavně jeho album
"Urban Jungle" na kterém spolupracoval s duem
Sly & Robbie).
To, že Aswad neustrnuli a stále se snaží na sobě pracovat a dávat fanouškům to, co si žádají ukázalo i jejich úspěšné a prozatím zároveň poslední album "City lock" se svými skladbami "Do That Thing" a "What is Love?" z roku 2009.